METODI MATEMATICI DELLA FISICA
Docente: prof. Luca G. Molinari
Laurea triennale, indirizzo generale, II anno (II semestre), 40 ore lezione + 20 ore esercitazioni (7 crediti)
Orario a.a. 2011/12: LUN 15:00-17:00, MAR 10:30-11:30, GIO 8:30-10:30, in aula A
Il corso ha carattere introduttivo e mira a fornire conoscenze di base di metodo e rigore matematico, tecniche utili e qualche applicazione negli ambiti: Analisi complessa, Spazi di Hilbert e Operatori Lineari, Serie e Integrali di Fourier e Laplace, Distribuzioni
Testo: Appunti del docente (in inglese, disponibili durante il corso).
Tutor: Dr. Stefano Scoleri (stefano.scoleri@unimi.it), il docente Molinari riceve su appuntamento (luca.molinari@unimi.it)
AVVISI:
APPELLI D'ESAME a.a. 2011-12:
giov. 14 giugno 2012 ore 14:30 aula A; mar. 26 giugno 2012 ore 9:30 aula
A;
lun 16 luglio 2012 ore 9:30 aula C;
TESTI PROVE SCRITTE
23 giu 2010;
06 lug 2010;
19 lug 2010;
09 set 2010;
22 set 2010;
15 feb 2011
22 giu 2011;
05 lug 2011;
18 lug 2011;
13 sett 2011;
27 sett 2011;
17 genn 2012;
10 febb 2012;
14 giu 2012 (testo)
14 giu 2012 (esiti);
26 giu 2012 (testo)
26 giu 2012 (esiti);
16 lug 2012 (testo);
16 lug 2012 (esiti);
12 set 2012 (testo);
12 set 2012 (esiti);
08 feb 2013 (testo);
08 feb 2013 (esiti);
Avviso: alle 14 di lunedi 16 luglio 2012 sono convocati per l'orale:
BIGI, DI CERBO, FELISI, FORESTI (?), MELEDINA, MOTTI, NOMELLINI,
PERRONE.
Tutti gli altri esami orali della sessione avranno luogo GIOVEDI 19
luglio alle ore 9:30. Gli scritti che non hanno avuto conclusione in
un orale non saranno conservati.
Programma svolto:
*argomento [argomento importante]; teorema (DIM) [e' richiesta la dimostrazione]27.02.2012: Equaz. cubica e quartica. Il campo C, coniugazione complessa, modulo e argomento, alcune disuguaglianze, esponenziale.
28.02.2012: Esercizi (pol di Chebyshev), mappa lineare w=az+b e mappa di inversione w=1/z.
01.03.2012: Mappa di Mobius. Sfera di Riemann e SU(2) (cenni). Mappa w=z^2. *Convergenza e completezza di C. *Assoluta convergenza di serie. *Serie geometrica.
05.03.2012: Prodotto di Cauchy. *Serie esponenziale. *Funzione continua e olomorfa. *Condizioni di Cauchy Riemann. *Significato di f'.
06.03.2012: *Funzione logaritmo. *Funzioni armoniche. Potenziale 2D carica puntiforme e potenziale complesso.
06.03.2012: Elettrostatica nel piano complesso (Dipolo, punto e semipiano). Curve e cammini. *Definizione di integrale complesso.
12.03.2012: Elettrostatica punto e cerchio. Disuguaglianze integrali (DIM). *Primitiva. *Funzione indice.
13.03.2012: *Primitiva e cammini chiusi. Teorema di Cauchy per i rettangoli (DIM).
15.03.2012: Primitiva, teorema e formula di Cauchy per funzioni intere (DIM). Trasformata di Fourier della Gaussiana (DIM), integrali di Fresnel, integrali trigonometrici.
19.03.2012: *Teorema della media, di Liouville (DIM), *fondamentale dell'algebra. Integrale (sin x)/x. *Teorema di Cauchy per funzioni olomorfe.
20.03.2012: *Serie, *uniforme convergenza: *criterio M e *integrazione. *Serie di potenze. Teorema di Abel-Weierstrass (DIM).
22.03.2012: *Sviluppo in serie di funzione olomorfa, esercizi.
26.03.2012: Esercizi su serie e integrazione. Polinomi di Hermite.
27.03.2012: *Prolungamento analitico. *Funzione Gamma.
29.03.2012: Formula di Stirling. Serie e teorema di Laurent (DIM). Esercizi.
02.04.2012: *Singolarita' isolate. *Classificazione. Residui e teorema dei residui (DIM). Esempi.
03.04.2012: Esercizi di integrazione complessa.
12.04.2012: Serie e residui. *Integrale in parte principale. Esercizi.
16.04.2012: Funzioni di Bessel.* Serie di Fourier: formule di Eulero, di Parseval, kernel di Dirichlet. Esercizi.
17.04.2012: *Serie di Fourier in [a,b]. Equazione delle onde 1D.
19.04.2012: Equazione delle onde 1D: esempio di soluzione. Cenni su: fenomeno di Gibbs, serie di Fejer, integrale di Fourier.
23.04.2012: *Spazi L^p. *Prodotto interno. Disuguaglianza di *Bessel e di Schwarz (DIM). Norma Hilbertiana (DIM).
24.04.2012: *Regola del parallelogrammo. *Isomorfismo unitario. *Completezza di l_2(C).
26.04.2012: *Separabilita' di l_2(C). Esistenza e unicita' della proiezione (DIM). Teorema della proiezione (DIM). Esempio di *ortogonalizzazione di Gram Schmidt.
03.05.2012: *Basi ortonormali complete. Teorema di Riesz (DIM). *Operatori lineari limitati. *Norma. *Operatore aggiunto.
07.05.2012: *Operatore autoaggiunto (esempio Q in L^2(a,b)). *Operatori unitari. *Gruppi a un parametro e teorema di Stone. *Operatore traslazione. *Il gruppo SO(3)
08.05.2012: *I proiettori.
10.05.2012: Aggiunto di operatore non limitato. *SO(3), *SU(2), *rappresentazione lineare unitaria di un gruppo.
14.05.2012: *Lo spazio S(R) (definizione, convergenza). Esercizi.
15.05.2012: *La trasformata di Fourier in S(R). Teorema dell'inversione (DIM).
17.05.2012: Unitarieta' della trasformata di Fourier (DIM). *Lo spazio S', *la delta, *la theta, *parte principale, *identita' di Plemelj-Sochotsky
21.05.2012: *Derivata e *trasformata di Fourier in S'(R). Esercizi.
22.05.2012: Esercizi di riepilogo.
24.05.2012: Teorema di Riemann-Lebesgue (DIM). *Completezza funzioni di Hermite. *Operatore di Fourier Plancherel. Esercizi di riepilogo.
28.05.2012: Esercizi di riepilogo
29.05.2012: Esercizi di riepilogo
Note del corso:
Capitolo 1 (Complex numbers - hystorical notes)
Capitolo 2 (The complex field)
Capitolo 3 (The complex plane)
Capitolo 4 (Sequences and series)
Capitolo 5 (Complex functions)
Capitolo 6 (Electrostatics)
Capitolo 8 (Complex integration)
Capitolo 9 (Cauchy's theorem for rectangles)
Capitolo 10 (Entire functions)
Capitolo 11 (Cauchy's theory for holomorphic functions)
Capitolo 12 (Power Series)
Capitolo 13 (Analytic continuation)
Capitolo 15 (Laurent series)
Capitolo 16 (The Residue theorem)
Capitolo 23 (Fourier Series.)
Capitolo 22 (Hilbert Spaces.)
Capitolo 24 (Linear Operators in Hilbert Spaces. - versione 10.05.2012)
Capitolo 26 (Schwartz's Space and Fourier Transform)
Capitolo 27 (Tempered Distributions)
Capitolo 28 (Fourier transform in L^p spaces)