METODI MATEMATICI DELLA FISICA 2017-18
                      DIARIO DELLE LEZIONI

LEZIONI 1 e 2.
introduzione al corso.
soluzione della cubica e numeri complessi.
il campo complesso, proprieta`. Inverso di un numero complesso, c.c. di un 
numero complesso. argomento di un numero complesso. formula di de moivre. 
espressione analitica di Arg(z). exp(z) definizione e proprieta`. cos(z) etc.
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LEZIONE 3.
definizione di logz, e delle potenze, razionali reali e complesse. 
Determinazione principale.
Proprieta`. Semplci trasformazini del piano complesso, traslazioni,
 dilatazioni, rotazioni e loro combinazioni. Punto fisso. L'inversione w=1/z.
 L'inversione porta circonferenze in circonferenze. (argomento da completare)
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LEZIONI 4 e 5.
completamento argomento sull'inversione. esempio su due rette 
che diventano due circonf.
tr. di Mobius e loro proprieta`.
 La proiezione stereografica. (piano complesso compattificato) e sue 
proprieta` rispetto alle circonferenze e rette nel piano. distanza cordale.  
Funzione di variabile complessa, derivabilita`, equivalenza con
differenziabilita` ed eq. di cauchy-riemann. esempio:  exp(z) e` derivabile.
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LEZIONI 6 e 7. 
esempio di derivazione di Log(z), estensione delle formule di 
deriviazione del caso reale al caso complesso, e quindi derivazione delle
 funzioni elementari, sen(z),  z^(a), etc. esempio, usando cauchy-riemann di
 una funzione derivabime solo sulla bisettriuce x=y. le mappe olomorfe sono 
conformi, descrizione infinitesima, come dilatazione+rotazione. esempio con 
w=z^2. reticolati ortogonali. Jocobiano di w=f(z) come funzione su R_2.
 Fatti generali sull'invertibilita` di w=f(z). un paio di teoremi 
(uno associato elementarmente al teorema della funzione implicita su R_2).
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LEZIONE 8. 
ripresa con esempi dell'argomento dell'invertibilita` di una f. 
olomorfa.
metodi di an complessa applicati all'elettrostatica.
campo e potenziale della carica puntiforme in D=2. Potenziale complesso.
 introduzione ai  problemi con conduttori.
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ESERCITAZIONI 1 e 2. 
 determinazione di f(z)  nota la sua parte reale.
 esercizio su
 trasf. di Mobious (da un tema d'esame). eserc.: la proiezione stereaografica 
e` conforme.  studio di (exp(z))^a, con a complesso e relazione con exp(az). 
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LEZIONI 9 e 10.
 problemi di elettrostatica via mappe olomorfe. Due esempi: il
 conduttore che occupa tre quadranti ed il conduttore che occupa un quadrante. 
Il campo di biot e savar ed il suo potenziale magnetico: la parte immaginaria 
di log(z) e` la soluzione, taglio del logaritmo e teorema di circuitazione di 
Ampere. Integrazione complessa, definizioni. cambio d paramatrizza 
nell'integrale: cambia o no di segno a seconda che cambi  o no l' orientazione.
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LEZIONE 11.
 un esempio di calcolo di integrale complesso. due disuguaglianze 
sull'integrale complesso.  Integrazione della derivata di una funzione 
olomorfa, e concetto di primitiva. teorema sull'equivalenza dell'esistenza 
della primitiva e certe proprieta` dell'integrale (annullarsi per i cammini 
chiusi).
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ESERCITAZIONI 3 e 4.
 determinazione della TM che porta H in D. Uso per 
risolvere un problema di elettrostatica: dal potenziale di due semirette 
isolate a potenziali V_0 e V_1 diversi,  al potenziale in un cerchio con un 
semicerchio a pot. V_0 e l'altro a pot. V_1.
Enunciazione teorema di Riemann.
 Campo elettrico di una barretta carica uniformemente (argomento da completare)
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LEZIONI 12 e 13.
 funzione indice, definizione e proprieta`.
Il teorema di cauchy per cammini rettangoliari (dimostra).
applicazione al calcolo dell'integrale gaussiano con parte immaginaria.
Enunciazione del teorema per domini rettangolari (la dimostra domani)
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LEZIONE 14.
 dimostra del teorema per domini rettangolari, formula integrale 
di cauchy, teorema della media e conseguenza  sui massimi di |f(z)|.
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ESERCITAZIONI 5 e 6.
 campo elettrico complesso generato da una barretta 
uniformemente carica, discussione dettagliata
della determinazioe del logaritmo per una soluzione valida ovunque. Due 
integrali elementari risolubili usando  la formula integrale di cauchy. 
Calcolo degli integrali di fresnel.
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LEZIONI 15 e 16.
 rappresentazione integrale della derivata n-esima di una f 
olomorfa tramite formula integrale di cauchy. Teorema di morera.  teorema: le 
f intere O(z^n) sono i polinomi di grado n. caso n=0 e teorema di liouville, 
generalizza: se Re(f) e` limitata allora f e` costante.  Applicazione: il 
teorema fondamentale dell'algebra via teorema di liouville.  Cenno alla 
dimostrazione di Artin del teorema di cauchy per domini arbitrari. 
teorema (ma senza dimostra) sulla derivazione di 
successioni (serie) di funzioni olomorfe che convergono uniformemente 
Applicazione: la funzione zita di riemann.
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LEZIONE 17. 
successioni e serie di numeri complessi, completezza di C; 
 prodotto di cauchy di serie. successioni e serie di funzioni di variabile 
complessa. convergenza uniforme, criterio di Weiestrass, conv. unif. ed 
integrazione. Serie di potenze, raggio di convergenza, formula del raggio di 
convergenza. Qualche esempio.
la somma di una serie di potenze  e` una funzione olomorfa.
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ESERCITAZIONI 7 e 8.  
esercizio su formula integrale di cauchy, applicazione 
del teorema di liouville per ottenere una utile rappresentazione per 1/P(z), 
dove P e` un polinomio con radici semplici. esercizio sul raggio di conv. di
 una serie di potenze e prime considerazioni  sulla relazione tra raggio di 
convergenza e posizione delle singolarita` della funzione. Esercizio  su 
prodotto di cauchy di serie (a proposito del calcolo di un'area immagine di 
un isomorfismo analitico)
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LEZIONI 18 e 19.
 definizione della serie esponenziale ed uguaglianza con exp(z).
Dimostra dello sviluppo di taylor. Discussione della relazione tra raggio 
di convergenza e posizione delle singolarita` della funzione. in particolare
 discussione per il Log(z) (da riprendre a esercit.) 
Esempio ( 1/(1+x^2)= Re(1/(1-iz) con z=x ) in cui si mostra come l'ambito 
naturale di ambientazione della serie di potenze e` quello complesso).
Serie di Laurent, definizione ed esempio. Unicita` della serie di Laurent. 
Dimostra del relativo teorema di esistenza . 
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LEZIONE 20.
 singolarita` isolate, esempio, classificazione delle singolarita` 
isolate, enunciato teorema di Picard sul comportamento nell'intorno di una 
singolarita` essenziale. poli, residuo al polo, teorema dei residui. 
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LEZIONI 21 e 22.
 Teorema di caratterizzazione degli zeri di una f olomorfa. 
concetto di prolungamento analitico. Applicazione: calcolo dell'integrale di
 exp(-x^2+xz) via prolungamento analitico dal valore dell'integrale per z reale.
Definizione della Gamma di Eulero tramite l'integrale euleriano, prolungamento 
analitico a tutto C come funzione meromorfa. Funzione B(x,y) ed integrale 
relativo.
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LEZIONE 23.
  Spazi lineari normati, spazi di banach, esempio di C[a,b]. 
Operatori lineari.
 nucleo ed immagine, contiunuita` e continuita` nell'origine.  Operatori 
limitati, equivalenza tra continuita` e limitatezza.
Norma di un operatore. Definzione di L(X,Y), di B(X,Y) e di B(X) e proprieta`
 relative
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ESERCITAZIONI 9 e 10. 
 Sviluppo di taylor della funzione Log(z) con centro in
 z=1.  raggio di conv.=1.  Deduzione dal precedente dello sviluppo con centro
 in z_0, con Re(z_0)<0.
osservazione del fatto che il raggio di conv. vale |z_0| e non Im(z_0), 
commenti. Commenti a questo proposito sul prolungamento analitico, e su cosa
 succede nel caso della serie del log, quando si prolunga facendo un giro 
attorno all'origine.
I polinomi di Hermite, funzione generatrice, regola di ricorrenza, equazione 
differenziale soddisfatta,  Formula di Rodriguez, calcolo dell'integrale di 
normalizzazione.
Alcuni semplici esercizi di determinazione di  serie di Laurent e di sviluppi 
di Taylor.
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ESERCITAZIONI 11 e 12.
 tecniche di integrazione.:
integrali tra 0 e 2\pi trasformati in integrali sulla circonferenza unitaria, 
integrali contenenti tagli affrontati in vari modi.
Il lemma di Jordan discusso in relazione alla valutazione dell'integrale di 
senx/x.
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LEZIONI 24 e 25.
 dimostra che B(X,Y) e` completo se Y e` completo. Definzione 
di funzione di operatore partendo da una funzione olomorfa f(z), definizioe di
 exp(A), sviluppo di Neumann per (1-A)^{-1}. Dimostra che 
exp(zA)exp(wA)=exp(z+w)A usano il prodotto di cauchy di serie.
spazio L^1, quozientazione e spazio lineare. Completezza (teorema di
 Fisher Rietz)
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LEZIONE 26.
 spazi L^p, dim. spazi lineari, disugualgianze di Holder e Minkowski
 (no dimostra), completezza (no dimostra). spazi l(C)^p, norma e completezza 
(con  dimostra). Esercizio su un operatore in  l(C)^p, , limitato, invertibile
 con inverso non limitato.
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LEZIONI 27 e 28.
  Definizione di spazio lineare con prodotto interno. 
Disuguaglianza di Bessel, disuguaglianza di Schwarz e disuguaglianza 
triangolare della norma. Formula di polarizzazione e uguaglianza del 
parallelogramma.  CNeS affinche` una norma derivi da un prodotto interno 
(no dim.). esempi di spazi di Hilbert.
Nozione di isomorfismo tra spazi di Hilbert.
Spazi separabili. Esempio di l^p(C) (no dim.) Processo di ortogonalizzazione . 
esempi: polinomi di Legendre e polinomi di Hermite.
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LEZIONI 29 e 30. 
 Isomorfismo con C^n degli spazi di Hilbert di dimensione n. 
osservazione sulla contiuita` del prodotto interno rispetto alla norma, 
(funzionali associati)  e sul fatto che la chiusura di un sottospazio linerare
 e` ancora un sottosp. lin. Complemento ortogonale e sue proprieta`. 
Il teorema della proiezione con  dimostra.  Corollari: decomposizione di H in 
somma ortogonale di un sottospazio e del suo complemento ortog.; relazione 
tra M ortog ortog. e la chiusura di M. Determinazione della formula della
 proiezione
 (per un sottospazio di dimensione finita) risolvendo il problema di minimo.
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LEZIONE 31.
 sistemi ortonormali completi.
coeff. di Fourier, id. di Parseval.  Formula per la proiezione su un 
sottospazio lineare di dimensione anche infinita. lemma di rappresentazione 
di Rietz (con dimostra) 
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ESERCITAZIONI 13 e 14.
 Norma euclidea di una matrice, esposizione generale e 
esempio numerico. norma dell'operatore di moltiplicazione sulla spazio di 
Banach delle funzioni continue su un intervalle che si annullano agli estremi.
  Esempio di sottospazio non chiuso in uno spazio di Banach (quello delle 
funzioni continue in L^p,) considerazioni sulla necessita`di avere 
l'integrabilita` secondo Lebesgue per la completezza. Relazione di contenenza
 tra gli spazi L^p (Q) quando l'inseme  Q ha misura finita.
 Norma dell'operatore di moltiplicazione in L^p(a,b).
Non limitatezza dell'operatore di moltiplicazione in L^2(R) e considerazioni 
di carattere fisico per la meccanica quantistica.
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LEZIONI 32 e 33.
 Definizione dell'aggiunto di un op. limitato A, sua norma e 
principali proprieta`.  Rappresentazione matriciale di op. limitato, e del 
corrispettivo aggiunto. prop: ker(A) ortog= chiusura R(A+).
 Proiettori ortogonali, definizione dal teorema della propiezione, 
idempotenza e autoaggiuntezza, equivalenza della definizione (no dim.), 
esempi.  
esercizio: relazione in spazi finito dimensionali tra traccia di un 
proiettore e la dim del suo range, esercizio sulla rappresentazione 
matriciale in C^3 di proiettori di traccia 1,2,3. 
operatori unitari ed isometrici., chiusura del range di un op. isometrico, 
gli op. isometrici conservano anche il prodotto interno. op. unitari. 
relazione tra inverso ed aggiunto per gli op. isometrici e per gli op. unitari.
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LEZIONE 34.
 operatore aggiunto per un operatore non limitato. Principalissime 
proprieta`. Operatori simmetrici, proprieta`di autovalori e autovettori. 
Operatori autoaggiunti. esempio discusso in dettaglio: l'operatore di 
moltiplicazione in L^2(R) e` autoaggunto.
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ESERCITAZIONI 15 e 16.
 Funzioni di Operatori: esponenzializzazione di una 
matrice, utilizzo del teorema di H.C. utilizzo del teorema spettrale per una 
matrice hermitiuana, risoluzione anche nel caso di matrice che non puo` essere
 diagonalizzata (esempi numerici con matrici 2x2). aggiunto di exp(zA) con z 
numero complesso e A op. limitato. exp(-iHt) come operatore unitario se H e` 
autoaggiunto ( e limitato). Teorema di Stone, caso delle traslazioni spaziali
 in L^2 ed identificazione del momento come generatore. 
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LEZIONI 35 e 36.
 Serie trigonometriche.
convenzioni. Id. di Parseval .Relazione tra regolarita` della funzione 
periodica sull'asse reale ed andamento con n dei coeff. di Fourier a_n(f) e 
b_n(f). Lemma di Riemann. Teorema del Dini, generalizza  nel caso esistano i 
limiti destri e sinistri. Secondo  teorema di Fejar per la convergenza in 
L1 (no dim.),  e i suoi due corollari: se una f ha la serie di Fourier nulla
 allora e` nulla; il sistema di Fourier e` completo in  L2.
 Il sistema dei polinomi e` completo in L2.
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LEZIONE 37.
Trasformata di Fourier in L1.
limitatezza e continuita`. Lemma di Riemann-Lebesgue.  Integrale di 
convoluzione, esistenza e principali proprieta` per le funzioni di L1
(con dimostra). Teorema di inversione (no dimostra).
 trasformata di F. delle funzioni di hermite.
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ESERCITAZIONI 17 e 18.
 esempio dettagliato di operatore isometrico ma non unitario (l'operatore di 
shift in l_2). esempio di sviluppo in serie di fourier  per f(x)=x ,
formula di Parseval e valutazione della serie numerica di 1/n^2. sviluppi in
 l^2[a,b], s.o.n.c. di funzioni trigonometriche alternativi a quello canonico 
di Fourier (in riferimento alla corda vibrante con estremi fissi). funzione 
armonica su un cerchio con una data condizione al contorno sulla circonferenza.
 generalizzazione del procedimento alla formula  integrale di Poisson.
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LEZIONI 38 E 39.
  relazione tra la trasformate di F di f e di f', entrambe 
per ipotesi in L1 e generalizza: tanto piu` una funzione e` regolare tanto piu`
la sua trasformata va velocemente a zero all'infinito.
 teorema: le funzioni di Hermite sono un sonc in L2.
 La trasformata di F. in L2 come operatore unitario.
 Il teorema di Plancharel (no dim).
Lo spazio S(R) delle funzioni a decrescenza rapida. definizione di convergenza.
 esempi di successioni che convergono o non convergono in S. S e` contenuto 
negli L_p. Teorema: S e` completo (cenno alla dim.) 
es. le successioni che convergono in S convergono anche in L2.
 oss: S e` denso in L2.  Teor. F(S) e` contenuto in S, ed e` continuo
 come operatore da S in S (con dim).
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LEZIONE 40.
teorema di inversione per la trasf. di Fourier in S(R) (con dim). 
Estensione di F a tutto L2 ed identificazione con l'operatore unitario
 introtto nella lezione precedente.  Proprieta` della convoluz. in S(R).
(la convoluz. di funzioni di S e` in S).
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ESERCITAZIONI 19 E 20.
 il teorema di stone ed i due gruppi, V(b), e  delle traslazioni T(a).
 Studio del primo, forte continuita`  ed identificazione 
del suo generatore nell'operatore di moltiplicazione.
Unitaria equivalenza dei due gruppi per mezzo della tr. di Fourier, e di 
conseguenza unitaria equivalenza dei generatori. Identificazione del 
generatore del gruppo delle traslazioni con l'usuale op. di momento sulle 
funzioni dello spazio S, delle funz. a decrescenza rapida.
soluz. dell'eq. di Schroedinger per la particella libera in una dimensione 
nello spazio S(R); derivata temporale in quanto derivata rispetto alla norma. 
Rappresentazione della soluzione come integrale di convoluzione, propagatore 
per la particella libera. Soluzione in L2 come limite di soluzioni in S(R).
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