Funzioni olomorfe
Numeri complessi, serie di potenze, il calcolo differenziale complesso.
Teoria di Cauchy: forme differenziali e le condizioni di Cauchy-Riemann;
forme differenziali chiuse, integrazione su cammini di forme chiuse ed
esatte; formula di Cauchy , teorema di Morera, lemma di Goursat. Numeri
di avvolgimento, teorema di Cauchy.
Proprietà delle funzioni olomorfe: teorema degli zeri, teorema
di Liouville, teorema del massimo modulo, della mappa aperta.
Serie di Taylor e di Laurent, singolarità isolate e loro classificazione,
residui e teorema dei residui. Integrazione col metodo dei residui, calcolo
di trasformate di Fourier, di Laplace, di Mellin.
Mappe conformi, cenni alle funzioni armoniche, formula di Poisson.
Continuazione analitica, funzioni polidrome: radice n-esima e logaritmo.
Funzioni intere e meromorfe, la funzione Gamma. Funzioni zeta.
Spazi di Banach, Spazi di Hilbert
Cenni sulla teoria della misura e dell' integrazione
Spazi di Hilbert e di Banach: Spazi L2, loro completezza
e varietà lineari dense notevoli.
Ortogonalità nello spazio di Hilbert, teorema della proiezione,
generalità sui s.o.n.c., i sistemi di Fourier, di Legendre, di Laguerre,
di Hermite.
Dualità, teorema di Riesz.
Distribuzioni
Funzioni test e distribuzioni, funzioni a decrescenza rapida e distribuzioni
temperate.
Derivazione di distribuzioni, convoluzione di distribuzioni, moltiplicatori
nelle distribuzioni.
Trasformata di Fourier in S(Rn)e in S(Rn)'.
Equazioni differenziali negli spazi di distribuzioni. Soluzioni fondamentali
nelle equazioni differenziali alle derivate parziali, in particolare per
l'equazione di Poisson, del calore, delle onde.
Operatori negli spazi di Hilbert
Operatori lineari per spazi di Banach e di Hilbert. Operatori limitati
e loro aggiunti. Proiettori e operazioni sui proiettori. Operatori unitari,
isometrici e parzialmente unitari, trasformata di Fourier in L2,
operatori integrali.
Teorema della uniforme limitatezza (di Banach-Steinhaus). Successioni
e serie in spazi di Banach e di Hilbert. Successioni e serie di operatori.
Serie di Neumann, serie esponenziale per operatori limitati.
Operatori chiusi e chiudibili. Teorema della funzione aperta e del
grafico chiuso. Aggiunto di un operatore densamente definito. Valori medi
e dispersione.
Operatori di moltiplicazione, di derivazione. Operatori differenziali
del second'ordine.
Perturbazione di un operatore T autoaggiunto con un operatore
A
simmetrico e T limitato. Laplaciano. Autoaggiuntezza dell'operatore
di Schrödinger con potenziale stazionario.
Generalità sullo spettro e sul risolvente di un operatore chiuso.
Spettro di un operatore e spettro del suo aggiunto. Proprietà spettrali
degli operatori autoaggiunti.
Raggio spettrale, spettro degli operatori normali di
B(H). Spettro
degli operatori isometrici e unitari.
Spettro degli operatori di moltiplicazione e di derivazione. Equivalenza
unitaria di P e Q, il loro commutatore.
Analisi spettrale degli operatori compatti. Teorema dell'alternativa
di Fredholm. Spettro degli operatori compatti e autoaggiunti. Forma canonica
e valori singolari di un operatore compatto. Operatori compatti, di Hilbert-Schmidt,
di classe traccia. Determinanti. Spettro degli operatori di Volterra.
Operatori a risolvente compatto. Operatori di Sturm-Liouville (caso
regolare).
Misure a valori di proiettori. Il calcolo funzionale e le misure spettrali.
Il teorema spettrale per operatori normali di B(H).
La trasformata di Cayley e il teorema spettrale per operatori autoaggiunti
non necessariamente limitati, funzioni misurabili di un operatore autoaggiunto.
Gruppi ad un parametro di operatori unitari. Teorema di Stone. Commutatività
di operatori.
Prodotti tensoriali di spazi vettoriali. Algebra tensoriale e algebra
esterna. Prodotti tensoriali di spazi di Hilbert. Spazi di Fock e operatori
di creazione e distruzione.
Testi consigliati:
M.C. Abbati, P.Cotta-Ramusino [note alle lezioni in formato ps]
- Equazioni
di Cauchy-Riemann, forme differenziali e funzioni analitiche,
- Trasformate di Laplace ,
- Note
sul teorema spettrale,
- Calcolo di trasformate di Fourier col metodo
dei residui
J.Bak D.J.Neumann, Complex Analysis, UTM Springer (1996).
M.C.Abbati, R.Cirelli, Metodi matematici della fisica. Operatori
lineari negli spazi di Hilbert.
M.Renardy, R.Rogers, An introduction to partial Differential equations,
Springer (1992).
M. Reed, B.Simon, Methods of Modern Mathematical Physics I - Functional
Analysis, seconda ed. Academic Press (1980).
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